Упрощение S_ (k + 1) полностью. Спасибо?!!

Упрощение S_ (k + 1) полностью. Спасибо?!!
Anonim

Ответ:

# S_k = к (к + 1) (к + 2) / 3 #

#S_ (к + 1) = (к + 1) (к + 2) (K + 3) / 3 #

Объяснение:

Разве мы не можем просто заменить # Х = к + 1 # в формулу, или я что-то здесь упускаю?

Последовательность:

# S_n = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + п (п + 1) = п (п + 1) (п + 2) / 3 #

Итак, если мы хотим рассчитать # S_k #мы просто положили # П = к #, и получить

# S_k = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + к (к + 1) = к (к + 1) (к + 2) / 3 #

В случае #S_ (к + 1) #Я думаю, мы можем просто заменить # П = к + 1 #и мы будем иметь

#S_ (к + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … (к + 1) (к + 2) = (к + 1) (к + 2) (к + 3) / 3 #

Если мы хотим расширить это, это становится

# (К + 1) (к + 2) (K + 3) / 3 #

# = (К ^ 2 + 3k + 2) (K + 3) / 3 #

# = (К ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (К ^ 3 + 6k ^ 2 + 11k + 6) / 3 #

# = К ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = К ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

Ответ:

#S_ (к + 1) = ((к + 1) (к + 2) (K + 3)) / 3 #

Объяснение:

#S_n: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + п (п + 1) = (п (п + 1) (п + 2)) / 3 #

Пусть утверждение верно для n = k, #S_k: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + к (к + 1) = (к (к + 1) (к + 2)) / 3 #

Давайте проверим для

n = k + 1, тогда

# S_n = S_ (к + 1) #

# П + 1 = к + 2 #

# П + 2 = к + 3 #

# "с непосредственным слагаемым" (k + 1) (k + 2) #

# (П (п + 1) (п + 2)) / 3 = ((к + 1) (к + 2) (K + 3)) / 3 #

Таким образом, #S_ (к + 1): 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + к (к + 1) + (к + 1) (к + 2) #

#S_ (к + 1): S_k + (к (к + 1) (к + 2)) / 3 #

# = (К (к + 1) (к + 2)) / 3 + (к + 1) (к + 2) #

# = 1/3 (к (к + 1) (к + 2) +3 (к + 1) (к + 2)) #

# = 1/3 ((к + 1) (к + 2) (K + 3)) = ((к + 1) (к + 2) (K + 3)) / 3 #

Проверенные.

таким образом

#S_ (к + 1) = ((к + 1) (к + 2) (K + 3)) / 3 #