Каков диапазон квадратичной функции?

Ответ:

Диапазон #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # является:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "if" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "if" a <0):} #

Объяснение:

Дана квадратичная функция:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # с #a! = 0 #

Мы можем заполнить квадрат, чтобы найти:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Для реальных значений #Икс# квадратный термин # (Х + б / (2а)) ^ 2 # неотрицательно, принимая его минимальное значение #0# когда #x = -b / (2a) #.

Затем:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Если #a> 0 # тогда это минимально возможное значение #f (х) # и диапазон #f (х) # является # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Если #a <0 # тогда это максимально возможное значение #f (х) # и диапазон #f (х) # является # (- оо, с-б ^ 2 / (4а) #

Еще один способ взглянуть на это, чтобы позволить #y = f (x) # и посмотреть, есть ли решение для #Икс# с точки зрения # У #.

Дано:

#y = топор ^ 2 + bx + c #

вычитать # У # с обеих сторон найти:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Дискриминант # Delta # этого квадратного уравнения имеет вид:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Чтобы иметь реальные решения, мы требуем #Delta> = 0 # так что:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

добавлять # 4ac-б ^ 2 # в обе стороны найти:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Если #a> 0 # тогда мы можем просто разделить обе стороны на # 4a # получить:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Если #a <0 # тогда мы можем разделить обе стороны на # 4a # и обратное неравенство, чтобы получить:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #