Каковы асимптот (ы) и отверстие (я), если таковые имеются, f (x) = xsin (1 / x)?

Ответ:

Обратитесь ниже.

Объяснение:

Ну, очевидно, есть дыра в # Х = 0 #, так как деление на #0# это невозможно.

Мы можем построить график функции:

graph {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Других асимптот и дырок нет.

Ответ:

#f (х) # имеет отверстие (съемный разрыв) в # Х = 0 #.

Он также имеет горизонтальную асимптоту # У = 1 #.

У него нет вертикальных или наклонных асимптот.

Объяснение:

Дано:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Я буду использовать несколько свойств #sin (t) #а именно:

• #abs (sin t) <= 1 "" # для всех реальных значений # Т #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # для всех значений # Т #.

Первое замечание, что #f (х) # является четной функцией:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Мы нашли:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Так:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Так как это #0#так это #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Кроме того, так как #f (х) # даже:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Обратите внимание, что #f (0) # не определено, так как включает в себя деление на #0#, но существуют как левый, так и правый пределы # Х = 0 #так что там есть дырка (съемный разрыв).

Мы также находим:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Так же:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Так #f (х) # имеет горизонтальную асимптоту # У = 1 #

график {х грех (1 / х) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}