Каково уравнение в стандартной форме параболы с фокусом в (42, -31) и директрисой y = 2?

Ответ:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # стандартная форма

Объяснение:

Пожалуйста, обратите внимание, что директриса является горизонтальной линией

#y = 2 #

Следовательно, парабола - это тип, который открывается вверх или вниз; вершинная форма уравнения для этого типа:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

куда # (H, K) # это вершина и # Е # вертикальное расстояние со знаком от вершины до фокуса.

Координата x вершины совпадает с координатой x фокуса:

#h = 42 #

Замена #42# за #час# в уравнение 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

Координата y вершины находится на полпути между директрисой и фокусом:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Замена #-29/2# за # К # в уравнение 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

Уравнение, чтобы найти значение # Е # является:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Замена #-33/2# за # Е # в уравнение 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Упростим дробь:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Разверните квадрат:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Распределите фракцию:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Объединить как термины:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # стандартная форма

Ответ:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Объяснение:

Мы решим это проблема используя следующее Фокус-Directrix

Недвижимость (FDP) из Парабола.

FDP: Любая точка на парабола является эквидистантный от

фокус и Directrix.

Пусть точка # F = F (42, -31), "а, строка" d: y-2 = 0, # быть

фокус и директриса из Парабола, скажем С.

Позволять, # P = P (x, y) в S, # быть любым Общая точка.

Затем, используя Формула расстояния, у нас есть расстояние,

# FP = SQRT {(х-42) ^ 2 + (у + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Зная, что # Bot- #расстояние. между точкой # (К, к), # и строка:

# Ах + с + с = 0, # является, # | Ах + Ьк + с | / SQRT (а ^ 2 + B ^ 2), # мы находим это, # "the" bot- "dist. btwn" P (x, y), &, d "is," | y-2 | ………….. (2). #

От FDP, # (1) и (2), # у нас есть, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, или, #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, т. е. #

# Х ^ 2-84x + = -66y тысяча семьсот шестьдесят-четыря-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # который в Стандартная форма, читает, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

как Уважаемый Дуглас К. Сэр уже выведено!

Наслаждайтесь математикой!