Какой единичный вектор ортогонален плоскости, содержащей (i -2j + 3k) и (i - j + k)?

Ответ:

Есть два шага в нахождении этого решения: 1. Найти перекрестное произведение двух векторов, чтобы найти вектор, ортогональный плоскости, содержащей их, и 2. нормализовать этот вектор так, чтобы он имел единичную длину.

Объяснение:

Первым шагом в решении этой проблемы является нахождение перекрестного произведения двух векторов. Перекрестное произведение по определению находит вектор, ортогональный плоскости, в которой лежат два умножаемых вектора.

# (i 2j + 3k) xx (i j + k) #

= # ((- 2 * 1) - (3 * -1)) + (я (3 * 1) - (1 * 1)) J + ((1 * -1) - (- 2 * 1)) к #

= # (- 2 - (- 3)) I + (3-1) J + (- 1 - (- 2)) к #

= # (Я + 2j + к) #

Это вектор, ортогональный плоскости, но это еще не единичный вектор. Чтобы сделать его единым, нам нужно «нормализовать» вектор: разделить каждый из его компонентов на его длину. Длина вектора # (AI + Bj + CK) # дан кем-то:

#l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

В этом случае:

#l = sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt6 #

Разделение каждого компонента # (Я + 2j + к) # от # Sqrt6 # дает наш ответ, который заключается в том, что единичный вектор, ортогональный к плоскости, в которой # (i 2j + 3k) и (i j + k) # ложь это:

# (Я / sqrt6 + 2 / sqrt6j + к / sqrt6) #