Что такое правило продукта для деривативов? + Пример

Правило произведения для производных утверждает, что данная функция #f (x) = g (x) h (x) #, производная функции #f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) #

правило продукта используется в основном, когда функция, для которой требуется производная, явно является произведением двух функций, или когда функция будет легче дифференцироваться, если рассматривать ее как произведение двух функций. Например, при взгляде на функцию #f (x) = tan ^ 2 (x) #, проще выразить функцию как продукт, в данном случае именно #f (x) = tan (x) tan (x) #.

В этом случае выразить функцию как произведение проще, потому что основные производные для шести основных функций триггера (# грех (x), cos (x), загар (x), csc (x), sec (x), детская кроватка (x) #) известны и являются, соответственно, #cos (x), -sin (x), sec ^ 2 (x), -csc (x) cot (x), sec (x) tan (x), -csc ^ 2 (x) #

Тем не менее, производная для #f (x) = tan ^ 2 (x) # не является одним из элементарных 6 тригонометрических производных. Таким образом, мы считаем #f (x) = tan ^ 2 (x) = tan (x) tan (x) # так что мы можем иметь дело с #tan (х) #, для которого мы знаем производную. Используя производную #tan (х) #а именно # d / dx tan (x) = sec ^ 2 (x) #и цепное правило # (df) / dx = g '(x) h (x) + g (x) h' (x) #, мы получаем:

#f '(x) = d / dx (tan (x)) tan (x) + tan (x) d / dx (tan (x))

# d / dx tan (x) = sec ^ 2 (x) #, так…

#f '(x) = sec ^ 2 (x) tan (x) + tan (x) sec ^ 2 (x) = 2tan (x) sec ^ 2 (x) #