Какой единичный вектор ортогонален плоскости, содержащей (- 5 i + 4 j - 5 k) и (4 i + 4 j + 2 k)?

Ответ:

Есть два шага: (1) найти перекрестное произведение векторов, (2) нормализовать результирующий вектор. В этом случае ответ таков:

# ((28) / (46,7) I- (10) / (46.7) j- (36) / (46,7) к) #

Объяснение:

Перекрестное произведение двух векторов дает вектор, который является ортогональным (под прямым углом) к обоим.

Скрещенное произведение двух векторов # (А #я# + Ь #J# + C #К#)# а также #(п#я# + Д #J# + Г #К#)# дан кем-то # (Б * г-с * д) я + (с * р-а * г) J + (а * д-р * б) к #

Первый шаг - найти перекрестный продукт:

# (- 5i + 4j 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Этот вектор ортогонален обоим исходным векторам, но это не единичный вектор. Чтобы сделать его единичным вектором, нам нужно его нормализовать: разделить каждый из его компонентов на длину вектора.

# L = SQRT (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # единицы

Единичный вектор, ортогональный исходным векторам:

# ((28) / (46,7) I- (10) / (46.7) j- (36) / (46,7) к) #

Это один единичный вектор, который ортогонален обоим исходным векторам, но есть другой - тот, который находится в совершенно противоположном направлении. Простое изменение знака каждого из компонентов дает второй вектор, ортогональный исходным векторам.

# (- (28) / (46,7) I + (10) / (46,7) J + (36) / (46,7) к) #

(но это первый вектор, который вы должны предложить в качестве ответа на тесте или задании!)