Используйте теорему о рациональных нулях, чтобы найти возможные нули следующей полиномиальной функции: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Ответ:

Возможный рациональный нули:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Объяснение:

Дано:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

По теореме рациональных нулей любые рациональные нули #f (х) # выражаются в виде # Р / д # для целых чисел #p, q # с #п# делитель постоянного члена #-35# а также # Д # делитель коэффициента #33# ведущего срока.

Делители #-35# являются:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Делители #33# являются:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Итак, возможные рациональные нули:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

или в порядке возрастания размера:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Обратите внимание, что это только рациональные возможности. Теорема о рациональных нулях не говорит нам о возможных иррациональных или сложных нулях.

Используя правило знаков Декарта, мы можем определить, что эта кубика не имеет отрицательных нулей и #1# или же #3# положительные реальные нули.

Таким образом, единственно возможными рациональными нулями являются:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Пробуя каждый по очереди, мы находим:

#f (1/11) = 33 (цвет (синий) (1/11)) ^ 3-245 (цвет (синий) (1/11)) ^ 2 + 407 (цвет (синий) (1/11)) -35 #

# color (white) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

# color (white) (f (1/11)) = 0 #

Так # Х = 1/11 # это ноль и # 11x-1 # фактор:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Чтобы разложить оставшийся квадратик, мы можем использовать метод AC:

Найти пару факторов #AC = 3 * 35 = 105 # с суммой # B = 22 #

Пара #15, 7# работает.

Используйте эту пару, чтобы разделить средний член, а затем сгруппировать:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

# color (white) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

# color (white) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Итак, два других нуля:

# x = 7/3 "" # а также # "" x = 5 #