Какое из следующих утверждений является верным / ложным? Обоснуйте свой ответ. (i) R² имеет бесконечно много ненулевых, собственных векторных подпространств. (ii) Каждая система однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение.

Ответ:

# #

# "(i) Верно." #

# "(ii) False." #

Объяснение:

# #

# "Доказательства." #

# "(i) Мы можем построить такой набор подпространств:" #

# "1)" forall r in RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) in RR ^ 2. #

# "Геометрически," V_r "- это линия, проходящая через начало" RR ^ 2, "наклона" r. #

# "2) Мы проверим, что эти подпространства оправдывают утверждение (i)." #

# "3) Ясно:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Проверьте, что:" qquad qquad V_r "является правильным подпространством в" RR ^ 2. #

# "Let:" qquad u, v in V_r, alpha, beta in RR. qquad qquad qquad quad "Убедитесь, что:" quad alpha u + beta v in V_r. #

# u, v in V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "для некоторых" x_1, x_2 в RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2))) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) in V_r; qquad "с" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Итак:" qquad qquad qquadu, v in V_r, alpha, beta in RR quad rArr quad alpha u + beta v in V_r. #

# "Таким образом:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "является подпространством в" RR ^ 2. #

# "Чтобы увидеть, что" V_r "отличен от нуля, обратите внимание, что:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) в V_r, "и" (1, r) ne (0, 0). #

# "Чтобы увидеть, что" V_r "является правильным," "обратите внимание, что" (1, r + 1)! В V_r: #

# (1, r + 1) в V_r rArr "(по конструкции" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "явно невозможно". #

# "Таким образом:" qquad qquad qquad V_r "является ненулевым, собственным подпространством в" RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Теперь покажите, что таких подпространств бесконечно много" V_r. #

# "Let:" qquad qquad r, s in RR. qquad qquad qquad quad "Покажем:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "По определению:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) in V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) in V_s. #

# "Понятно:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Таким образом:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Таким образом, каждый" r в RR "создает отдельное подпространство" V_r. #

# "Это вместе с (1) дает:" #

# "Семейство подпространств:" r in RR, "- бесконечное семейство" #

# "ненулевых, собственных подпространств" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) Это на самом деле легко. Если система квадратная, а" #

# "матрица коэффициентов системы в обратимом виде будет только" #

# «Нулевое решение». #

# «Предположим, что« qquad qquad quad A »- квадратная обратимая матрица». #

# "Рассмотрим однородную систему:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Таким образом, поскольку" A "обратимо:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Таким образом, однородная система" A x = 0, "не имеет" #

# "ненулевое решение." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #