A_n = x ^ n / n ^ x сходится для любого x?

Ответ:

# "Нет" #

Объяснение:

# "Если" x = -1 ", у нас есть" a_n = n * (- 1) ^ n ", и это чередуется" #

# "между" -oo "и" + oo "для" n-> oo ", в зависимости от" #

# "факт, если n нечетно или четно." #

# "Если" x <-1 ", ситуация станет еще хуже." #

# "Существует только сходимость для" x> -1. #

Каковы значения r (при r> 0), для которых сходится ряд?

R <1 / e - условие сходимости sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n). Я просто отвечу на часть о сходимости, первая часть была дана в комментариях. Мы можем использовать r ^ ln (n) = n ^ ln (r), чтобы переписать сумму sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) в виде sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) Ряд справа - это форма ряда для известной дзета-функции Римана. Хорошо известно, что этот ряд сходится, когда p> 1. Непосредственное использование этого результата дает -ln (r)> 1 означает, что ln (r) <- 1 означает, что r <e ^ -1 = 1 / e Результат о дзета-функциях Римана очень хорошо

Найти значения х, для которых следующий ряд сходится?

1оо) | а_ (п + 1) / a_n |. Если L <1, ряд абсолютно сходится (и, следовательно, сходится). Если L> 1, ряд расходится. Если L = 1, коэффициент теста не является окончательным. Однако для серии Power Series возможны три варианта: а. Степенные ряды сходятся для всех действительных чисел; его интервал сходимости равен (-oo, oo) b. Степ

Предположим, что a_n является монотонным и сходится и b_n = (a_n) ^ 2. B_n обязательно сходится?

Да. Пусть l = lim_ (n -> + oo) a_n. a_n является монотонным, поэтому b_n также будет монотонным, и lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2. Это похоже на функции: если f и g имеют конечный предел в a, то продукт f.g будет иметь предел в a.