Заметим, что квадратный корень из 12345678910987654321 не является целым числом, поэтому наш шаблон может содержать только 12345678987654321. Поскольку шаблон конечен, мы можем доказать это непосредственно.
Обратите внимание, что:
В каждом случае у нас есть число, состоящее полностью из
Первое и второе слагаемые геометрической последовательности являются соответственно первым и третьим слагаемыми линейной последовательности. Четвертый слагаемый линейной последовательности равен 10, а сумма его первых пяти слагаемых равна 60. Найти первые пять членов линейной последовательности?
{16, 14, 12, 10, 8} Типичная геометрическая последовательность может быть представлена как c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k и типичная арифметическая последовательность как c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Называя c_0 a в качестве первого элемента для геометрической последовательности, мы имеем {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> «Первый и второй из GS - это первый и третий из LS»), (c_0a + 3Delta = 10- > «Четвертый член линейной последовательности равен 10»), (5c_0a + 10Delta = 60 -> «Сумма его первых пяти слагаемых равна 60»):} Решая для c_0, a, Delta, мы получаем
Четвертая степень общего различия арифметической прогрессии с целочисленными записями добавляется к произведению любых четырех последовательных ее членов. Докажите, что полученная сумма является квадратом целого числа?
Пусть общая разница AP целых чисел будет 2d. Любые четыре последовательных члена последовательности могут быть представлены как a-3d, a-d, a + d и a + 3d, где a является целым числом. Таким образом, сумма произведений этих четырех членов и четвертой степени общей разности (2d) ^ 4 будет равна = цвет (синий) ((a-3d) (ad) (a + d) (a + 3d)) + цвет (красный) ((2d) ^ 4) = цвет (синий) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + цвет (красный) (16d ^ 4) = цвет (синий ) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + цвет (красный) (16d ^ 4) = цвет (зеленый) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) = цвет (зеленый) ((^ 2-5d ^ 2) ^ 2, что является идеальным квадрат
Какие три последовательных нечетных целых числа таковы, что сумма среднего и наибольшего целого числа 21 больше наименьшего целого числа?
Три последовательных нечетных целых числа - это 15, 17 и 19. Для задач с «последовательными четными (или нечетными) цифрами» стоит дополнительных усилий для точного описания «последовательных» цифр. 2x - это определение четного числа (число, делимое на 2). Это означает, что (2x + 1) - это определение нечетного числа. Итак, вот «три последовательных нечетных числа», написанных так, что это намного лучше, чем x, y, z или x, x + 2, x + 4 2x + 1larr наименьшее целое число (первое нечетное число) 2x + 3larr среднее целое число ( второе нечетное число) 2x + 5 большое наибольшее целое число (третье н