Четвертая степень общего различия арифметической прогрессии с целочисленными записями добавляется к произведению любых четырех последовательных ее членов. Докажите, что полученная сумма является квадратом целого числа?

Четвертая степень общего различия арифметической прогрессии с целочисленными записями добавляется к произведению любых четырех последовательных ее членов. Докажите, что полученная сумма является квадратом целого числа?
Anonim

Пусть общая разница AP целых чисел будет # 2d #.

Любые четыре последовательных условия прогрессии могут быть представлены как # a-3d, a-d, a + d и a + 3d #, где # A # является целым числом

Таким образом, сумма произведений этих четырех членов и четвертой степени общей разности # (2d) ^ 4 # будет

# = цвет (синий) ((a-3d) (a-d) (a + d) (a + 3d)) + цвет (красный) ((2d) ^ 4) #

# = Цвет (синий) ((а ^ 2-9d ^ 2) (а ^ 2-й ^ 2)) + цветной (красный) (16d ^ 4) #

# = Цвет (синий) ((а ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + цветной (красный) (16d ^ 4) #

# = Цвет (зеленый) ((а ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = Цвет (зеленый) ((а ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, который является идеальным квадратом.

Сумма четырех последовательных членов геометрической последовательности равна 30. Если AM первого и последнего членов равен 9. Найти общее соотношение.

Сумма четырех последовательных членов геометрической последовательности равна 30. Если AM первого и последнего членов равен 9. Найти общее соотношение.

Пусть 1-й член и общее отношение GP являются a и r соответственно. По 1-му условию a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 = 30 ... (1) По второму условию a + ar ^ 3 = 2 * 9 .... (2) Вычитание (2) из (1) ar + ar ^ 2 = 12 .... (3) Деление (2) на (3) (1 + r ^ 3) / (r + r ^ 2) = 18/12 = 3/2 => ((1+ r) (1-r + r ^ 2)) / (r (1 + r)) = 3/2 => 2-2r + 2r ^ 2 = 3r => 2r ^ 2-5r + 2 = 0 => 2r ^ 2-4r-r + 2 = 0 => 2r (r-2) -1 (r-2) = 0 => (r-2) (2r-1) = 0 Итак, r = 2 или 1/2

Какие три последовательных нечетных целых числа таковы, что сумма среднего и наибольшего целого числа 21 больше наименьшего целого числа?

Какие три последовательных нечетных целых числа таковы, что сумма среднего и наибольшего целого числа 21 больше наименьшего целого числа?

Три последовательных нечетных целых числа - это 15, 17 и 19. Для задач с «последовательными четными (или нечетными) цифрами» стоит дополнительных усилий для точного описания «последовательных» цифр. 2x - это определение четного числа (число, делимое на 2). Это означает, что (2x + 1) - это определение нечетного числа. Итак, вот «три последовательных нечетных числа», написанных так, что это намного лучше, чем x, y, z или x, x + 2, x + 4 2x + 1larr наименьшее целое число (первое нечетное число) 2x + 3larr среднее целое число ( второе нечетное число) 2x + 5 большое наибольшее целое число (третье н

"Лена имеет 2 целых числа подряд.Она замечает, что их сумма равна разнице между их квадратами. Лена выбирает еще 2 последовательных целых числа и замечает то же самое. Докажите алгебраически, что это верно для любых двух последовательных целых чисел?

"Лена имеет 2 целых числа подряд.Она замечает, что их сумма равна разнице между их квадратами. Лена выбирает еще 2 последовательных целых числа и замечает то же самое. Докажите алгебраически, что это верно для любых двух последовательных целых чисел?

Пожалуйста, обратитесь к объяснению. Напомним, что последовательные целые числа отличаются на 1. Следовательно, если m одно целое число, то последующее целое число должно быть n + 1. Сумма этих двух целых чисел равна n + (n + 1) = 2n + 1. Разница между их квадратами составляет (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, по желанию! Почувствуй радость математики!