Как вы пишете частичное дробное разложение рационального выражения (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Ответ:

# (3x) / (х ^ 3-2x ^ 2-х + 2) = 2 / (х-2) -3 / (2 (х-1)) - 1 / (2 (х + 1)) #

Объяснение:

Чтобы записать данное выражение в частичные дроби, мы думаем о факторизации знаменателя.

Давайте факторизовать знаменатель

#color (синий) (х ^ 3-2x ^ 2-х + 2) #

# = Цвет (синий) (х ^ 2 (х-2) - (х-2)) #

# = Цвет (синий) ((х-2) (х ^ 2-1)) #

Применение идентичности полиномов:

#color (оранжевый) (а ^ 2-б ^ 2 = (а-б) (а + б)) #

у нас есть:

#color (синий) (х ^ 3-2x ^ 2-х + 2) #

# = Цвет (синий) ((х-2) (х ^ 2-1 ^ 2)) #

# = Цвет (синий) ((х-2) (х-1) (х + 1)) #

Разложим рациональное выражение, найдя # A, B и C #

#color (коричневый) (А / (х-2) + В / (х-1) + С / (х + 1)) = цвет (зеленый) ((3x) / (х ^ 3-2x ^ 2-х +2)) #

#color (коричневый) (А / (х-2) + В / (х-1) + C / (х + 1)) #

# = Цвет (коричневый) ((А (х-1) (х + 1)) / (х-2) + (В (х-2) (х + 1)) / (х-1) + (С (х-2) (х-1)) / (х + 1)) #

# = (А (х ^ 2-1)) / (х-2) + (В (х ^ 2 + X-2x-2)) / (х-1) + (С (х ^ 2x-2x + 2)) / (х + 1) #

# = (А (х ^ 2-1)) / (х-2) + (В (х ^ 2-х-2)) / (х-1) + (С (х ^ 2-3x + 2)) / (х + 1) #

# = (Ах ^ 2-А + Вй ^ 2-Ви-2B + Се ^ 2-3Cx + 2C) / ((х-2) (х-1) (х + 1) #

# = Цвет (коричневый) (((А + В + С) х ^ 2 + (- В-3C) х + (- А-2B + 2C)) / ((х-2) (х-1) (х + 1)) #

# = Цвет (коричневый) (((А + В + С) х ^ 2 + (- В-3C) х + (- А-2B + 2C)) / ((х-2) (х-1) (х + 1)) = цвет (зеленый) ((3x) / (х ^ 3-2x ^ 2-х + 2)) #

Затем, #rArrcolor (коричневый) ((А + В + С) х ^ 2 + (- В-3C) х + (- А-2B + 2C)) = цвет (зеленый) (3x) #

У нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными # A, B и C #

# А + В + С = 0 # EQ1

# -B-3C = 3 # eq2

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

Начинаем решать систему

eq2:# -B-3C = 3rArr-В = 3 + 3CrArrcolor (красный) (В = -3-3C) #

Подставляя # B # в eq1 мы имеем:

# А + В + С = 0 #

# А-3-3C + С = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (красный) (А = 3 + 2C) #

Подставляя #B и C #в eq3 мы имеем:

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

# RArr- (цвет (красный) (3 + 2C)) - 2 (цвет (красный) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# RArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# RArr + 3 + 6C = 0 #

# RArr6C = -3 #

#rArrcolor (красный) (С = -1 / 2) #

#color (красный) (В = -3-3C) = - 3-3color (красный) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#color (красный) (В = -3/2 #

#color (красный) (А = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#color (красный) (А = 2) #

Давайте подставим значения:

#color (зеленый) ((3x) / (х ^ 3-2x ^ 2-х + 2)) = цвет (коричневый) (цвет (красный) 2 / (х-2) + (цвет (красный) (- 3 / 2)) / (х-1) + цветной (красный) ((- 1/2)) / (х + 1)) #

Следовательно, # (3x) / (х ^ 3-2x ^ 2-х + 2) = 2 / (х-2) -3 / (2 (х-1)) - 1 / (2 (х + 1)) #