Делая множители Лангража для исчисления 3 ... допустим, я уже нашел свои критические точки и получил из них значение. Как я узнаю, является ли это минимальным или максимальным значением?

Ответ:

Одним из возможных способов является гессиан (2-й производный тест)

Объяснение:

Как правило, чтобы проверить, являются ли критические точки минимальными или максимальными значениями, вы часто будете использовать второй производный тест, который требует от вас найти 4 частных производных, предполагая, что #f (х, у) #:

#f _ { "хх"} (х, у) #, #f _ { "х"} (х, у) #, #f _ { "ух"} (х, у) #, а также #f _ { "уу"} (х, у) #

Обратите внимание, что если оба #f _ { "х"} # а также #f _ { "ух"} # непрерывны в интересующей области, они будут равны.

После того, как вы определили эти 4, вы можете использовать специальную матрицу, называемую гессианом, чтобы найти определитель этой матрицы (который, как ни странно, часто называют также гессианом), который даст вам некоторую информацию о природа точки. Таким образом, определите гессенскую матрицу как:

#H = | (f_ {"xx"} color (white) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} color (white) (, aa) f_ {yy}) | #

После того, как вы установили эту матрицу (и она будет «функциональной» матрицей, поскольку ее содержимое будет функцией от x и y), вы можете взять одну из своих критических точек и оценить детерминант всей матрицы. А именно:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

В зависимости от результатов этого расчета вы можете узнать природу критической точки:

Если #H> 0 #, есть мин / макс в этот момент. Проверьте знак #f _ { "хх"} #, Если оно положительное, то точка мин. Если оно отрицательное, точка макс. (Это аналог «традиционного» теста 2-й производной для функций с одной переменной x.)

Если #H <0 #Седловая точка в этой точке

Если #H = 0 #тест не является окончательным, и вы должны полагаться на другие средства, такие как график функции для визуального определения.