Пара честных шестигранных костей брошена восемь раз. Найти вероятность того, что оценка больше 7 набрана не более пяти раз?

Ответ:

#~=0.9391#

Объяснение:

Прежде чем мы перейдем к самому вопросу, давайте поговорим о методе его решения.

Скажем, например, что я хочу учесть все возможные результаты от подбрасывания справедливой монеты три раза. Я могу получить HHH, TTT, TTH и HHT.

Вероятность Н равна #1/2# и вероятность Т также #1/2#.

Для HHH и для TTT это # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # каждый.

Для TTH и HHT это также # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # каждый, но так как у меня есть 3 способа получить каждый результат, он в конечном итоге # 3xx1 / 8 = 3/8 # каждый.

Когда я подвожу эти результаты, я получаю #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - это значит, что теперь у меня есть все возможные результаты броска монеты.

Обратите внимание, что если я установлю #ЧАС# быть #п# и, следовательно, есть # T # быть # ~ Р #, а также обратите внимание, что у нас есть линия от треугольника Паскаля #(1,3,3,1)#Мы создали форму:

#sum_ (к = 0) ^ (п) C_ (п, к) (р) ^ к ((~ р) ^ (п-к)) #

и так в этом примере мы получаем:

# = С- (3,0) (1/2) = 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Теперь мы можем сделать проблему.

Нам дают число бросков как 8, так # П = 8 #.

#п# сумма больше 7. Чтобы найти вероятность получения суммы больше 7, давайте посмотрим на возможные броски:

# ((Цвет (белый) (0), UL1, UL2, UL3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Из 36 вариантов 15 бросков дают сумму, превышающую 36, что дает вероятность #15/36=5/12#.

С # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Мы можем выписать всю сумму возможностей - от получения всех 8 рулонов, сумма которых превышает 7, до получения всех 8 рулонов, имеющих сумму 7 или меньше:

# = С_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) = 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

но мы заинтересованы в суммировании только тех терминов, в которых сумма больше 7 встречается 5 или менее раз:

# = С_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) = 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Ответ:

#0.93906#

Объяснение:

# "Итак, P результат> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "это происходит k раз за 8 бросков" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

#"(биномиальное распределение)"#

# "с" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(комбинации)" #

#"Так, "#

#P "это происходит максимум 5 раз за 8 бросков" #

# = 1 - P "это происходит 6, 7 или 8 раз за 8 бросков" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#