Чем тригонометрическое замещение отличается от замещения?

Ответ:

Обычно тригозамещение используется для интегралов вида # Х ^ 2 + -a ^ 2 # или же #sqrt (х ^ 2 + -a ^ 2) #, в то время как # # U-замена используется, когда функция и ее производная появляются в интеграле.

Объяснение:

Я нахожу оба типа замен очень интересными из-за их причин. Рассмотрим сначала тригональную замену. Это вытекает из теоремы Пифагора и тождеств Пифагора, вероятно, двух наиболее важных понятий в тригонометрии. Мы используем это, когда у нас есть что-то вроде:

# Х ^ 2 + а ^ 2 -> # где # A # постоянно

#sqrt (х ^ 2 + а ^ 2) -> # снова предполагая # A # постоянно

Мы видим, что эти двое выглядят ужасно # А ^ 2 + B ^ 2 = с ^ 2 #, которая является теоремой Пифагора. Он связывает две стороны прямоугольного треугольника с гипотенузой треугольника. Если мы вытянем это, мы увидим, что да, # Х ^ 2 + а ^ 2 # может быть представлен треугольником:

Картина очень полезна, потому что она говорит нам # Tantheta = х / а #, или же # Atantheta = х #; это составляет основу триговой замены. Кроме того (и это где это становится удивительным), когда вы заменяете # х = tantheta # в # Х ^ 2 + а ^ 2 #в итоге вы получите пифагорейскую идентичность # Загар ^ 2theta + 1 = сек ^ 2theta #, Затем вы можете сделать некоторые упрощения для # Сек ^ 2theta # если вам нужно, и интеграл легко там. То же самое касается случаев # Х ^ 2-а ^ 2 #, # А ^ 2-х ^ 2 #, #sqrt (х ^ 2-а ^ 2) #, а также #sqrt (а ^ 2-х ^ 2) #.

Вы можете использовать Trig Sub. для многих проблем, но вы можете использовать # # U-замена возможно еще больше. Мы используем эту технику, когда у нас есть что-то вроде # Intlnx / XDX #, Если мы наблюдательны, мы видим, что у нас есть две функции - # LNX # а также # 1 / х #, И если мы помним наши основные производные, мы знаем, # Д / dxlnx = 1 / х # за #x> 0 # (или же # Г / dxlnabs (х) = 1 / х # за #X! = 0 #). Так что идея состоит в том, чтобы сказать, пусть # И = LNX #; затем # (Ди) / дх = 1 / х # а также # Дю = дх / х #, Проблема после внесения этих замен упрощается до # Intudu # - намного проще, чем раньше.

Хотя эти два метода могут различаться, они оба служат одной и той же цели: привести интеграл к более простой форме, чтобы мы могли использовать базовые методы. Я уверен, что моего объяснения недостаточно, чтобы включить все конкретные детали об этих заменах, поэтому я приглашаю других внести свой вклад.