Сумма квадрата двух последовательных чисел равна 390. Как вы формулируете квадратное уравнение, чтобы найти два числа?

Ответ:

Квадратичный будет # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Это не имеет целочисленных решений.

Также сумма квадратов любых двух целых чисел не равна #390#.

Сумма квадратов двух гауссовых целых может быть 390.

Объяснение:

Если меньшее из двух чисел # П #тогда чем больше # П + 1 # и сумма их квадратов:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Итак, квадратное уравнение, которое мы хотели бы решить:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

или если вы предпочитаете:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Обратите внимание, что для любого целого числа # П # сумма # 2n ^ 2 + 2n + 1 # будет странным, поэтому это невозможно #390# быть суммой квадратов двух последовательных целых чисел.

Может ли оно быть выражено как сумма квадратов любых двух целых чисел?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# не квадратный

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# не квадратный

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# не квадратный

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# не квадратный

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# не квадратный

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# не квадратный

Нет - если мы пойдем дальше, большой остаток после вычитания квадрата не будет одним из тех, которые мы уже проверяли.

#белый цвет)()#

Комплексная сноска

Есть ли пара гауссовых целых, сумма которых равна #390#?

Да.

Предположим, мы можем найти гауссово целое число # Т + п #, реальная часть которого квадрат #195#, Тогда сумма квадрата этого гауссова целого и квадрата его комплексного сопряжения будет решением.

Мы нашли:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Итак, мы хотим найти целые числа #m, n # такой, что # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Что ж:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Отсюда мы находим:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Другое решение, вытекающее из того факта, что каждое нечетное число является разницей квадратов двух последовательных чисел:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #