Показать, что уравнение x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 имеет ровно одно решение на [0, 1]?

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

Прежде всего, давайте вычислим #f (х) = х ^ 4 + 2 ^ 2-2 # на границе нашего домена:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Если мы вычислим производную

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Мы видим, что это всегда положительно в #0,1#, По факту, # Х ^ 2 + 1 # всегда позитивно, и # 4x # очевидно положительно, так как #Икс# положительно.

Итак, наша функция начинается ниже #Икс# ось, так как #f (0) <0 #и заканчивается над #Икс# ось, так как #f (1)> 0 #, Функция является полиномом, и поэтому она непрерывна.

Если непрерывная линия начинается ниже оси и заканчивается выше, это означает, что она должна была пересечь ее где-то посередине. И тот факт, что производная всегда положительна, означает, что функция всегда растет, и поэтому она не может пересекать ось дважды, отсюда и доказательство.