Если a ^ 3 + b ^ 3 = 8 и a ^ 2 + b ^ 2 = 4, каково значение (a + b)?

Ответ:

Есть два возможных значения для суммы, # A + B = 2 # (за # А = 2 # а также # Б = 0 #) или же # A + B = -4 # (за # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Объяснение:

На самом деле есть два неизвестных, сумма и произведение # A # а также # Б, # так что давайте #x = a + b # а также #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Два уравнения в двух неизвестных, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Это называется подавленной кубикой, и те имеют довольно простое решение в виде замкнутой формы, такое как квадратная формула. Но вместо того, чтобы трогать это, давайте просто угадать корень проверенного временем метода проб небольшого числа. Мы видим # Х = 2 # работает так # (Х-2) # это фактор.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Теперь мы можем еще фактор

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Таким образом, есть два возможных значения для суммы, # A + B = 2 # а также # A + B = -4. #

Первый ответ соответствует реальному решению # a = 2, b = 0 # и по симметрии # a = 0, b = 2 #, Второй ответ соответствует сумме пары комплексных конъюгатов. Они # a, b = -2 pm i sqrt {2} #, Можете ли вы проверить это решение?

Ответ:

# (a + b) = 2 или a + b = -4 #

Объяснение:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (А + б) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (а + б) ^ 2-4 #

# => AB = ((а + б) ^ 2-4) / 2 #

Сейчас,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (А + б) (а ^ 2-аб + Ь ^ 2) = 8 #

# => (А + б) (4-AB) = 8 #

# => (А + б) {4 - ((а + б) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (А + б) {6 - ((а + б) ^ 2) / 2} = 8 #

Позволять,

# (А + б) = х #

Так, # => Х (6-х ^ 2/2) = 8 #

# => Х (12-х ^ 2) = 16 #

# => Х ^ 3-12x + 16 = 0 #

Соблюдайте это #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (Х-2) # это фактор.

Сейчас, # Х ^ 3-12x + 16 = ули (х ^ 3-2x ^ 2) + ули (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = Х ^ 2 (х-2) + 2 (х-2) -8 (х-2) #, # = (Х-2) (х ^ 2 + 2х-8) #, # = (Х-2) (х + 4) (х-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2 или x = -4 #.

#:. a + b = 2 или a + b = -4 #.

График приведен здесь.

Значение #color (red) ((a + b) = 2 или -4. #

Надеюсь, поможет…

Спасибо…