Как вы неявно отличаете y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2?

Ответ:

Используйте правила продукта и частных и сделайте много утомительной алгебры, чтобы получить # Д / дй = (3x ^ 4 + 2й ^ 3y + у ^ 2) / (2х + х ^ 4) #.

Объяснение:

Начнем с левой стороны:

# У ^ 2 / х #

Чтобы получить производную от этого, нам нужно использовать фактор-правило:

# Д / дх (U / V) = (u'v-уф ') / V ^ 2 #

У нас есть # И = у ^ 2> и '= 2ydy / дх # а также # V = x-> v '= 1 #, так:

# Д / дх (у ^ 2 / х) = ((2ydy / дх) (х) - (у ^ 2) (1)) / (х) ^ 2 #

# -> д / дх (у ^ 2 / х) = (2xydy / дх-у ^ 2) / х ^ 2 #

Теперь для правой стороны:

# Х ^ 3-3yx ^ 2 #

Мы можем использовать правило сумм и умножение правила констант, чтобы разбить это на:

# Д / дх (х ^ 3) -3D / дх (ух ^ 2) #

Второе из них потребует правила продукта:

# Д / дх (УФ) = u'v + УФ '#

С # И = y-> и '= ду / дх # а также # V = х ^ 2> v '= 2x #, Так:

# Д / дх (х ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((ду / дх) (х ^ 2) + (у) (2x)) #

# -> д / дй (х ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-х ^ 2dy / дй + 2х #

Наша проблема сейчас гласит:

# (2xydy / дх-у ^ 2) / х ^ 2 = 3x ^ 2-х ^ 2dy / дх + 2ху #

Мы можем добавить # Х ^ 2dy / дх # в обе стороны и вычленить # Ду / дх # чтобы изолировать это:

# (2xydy / дх-у ^ 2) / х ^ 2 = 3x ^ 2-х ^ 2dy / дх + 2ху #

# -> (2xydy / дй) / х ^ 2 + х ^ 2dy / DX- (у ^ 2) / х ^ 2 = 3x ^ 2 + 2х #

# -> д / дй ((2х) / х ^ 2 + х ^ 2) = 3x ^ 2 + 2х + (у ^ 2) / х ^ 2 #

# -> д / дй = (3x ^ 2 + 2х + (у ^ 2) / х ^ 2) / ((2х) / х ^ 2 + х ^ 2) #

Я надеюсь, что вы любите алгебру, потому что это одно неприятное уравнение, которое нужно упростить:

# Д / дй = (3x ^ 2 + 2х + (у ^ 2) / х ^ 2) / ((2х) / х ^ 2 + х ^ 2) #

# -> д / дй = ((3x ^ 4) / х ^ 2 + (2x ^ 3y) / х ^ 2 + (у ^ 2) / х ^ 2) / ((2х) / х ^ 2 + х ^ 4 / х ^ 2) #

# -> д / дй = ((3x ^ 4 + 2й ^ 3y + у ^ 2) / х ^ 2) / ((2х + х ^ 4) / х ^ 2) #

# -> д / дй = (3x ^ 4 + 2й ^ 3y + у ^ 2) / х ^ 2 * х ^ 2 / (2х + х ^ 4) #

# -> д / дй = (3x ^ 4 + 2й ^ 3y + у ^ 2) / (2х + х ^ 4) #