Как вы находите площадь параллелограмма с вершинами?

Ответ:

Для параллелограмма # ABCD # площадь

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Объяснение:

Давайте предположим, что наш параллелограмм # ABCD # определяется координатами его четырех вершин - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

Чтобы определить площадь нашего параллелограмма, нам понадобится длина его основания # | AB | # и высота # | DH | # из вершины # D # В точку #ЧАС# на стороне # AB # (то есть, #DH_ | _AB #).

Прежде всего, чтобы упростить задачу, давайте переместим ее в положение, когда ее вершина # A # совпадает с началом координат. Площадь будет такой же, но расчеты будут проще.

Итак, выполним следующее преобразование координат:

# U = х-X_A #

# V = у-y_A #

Тогда (# U, V #) координаты всех вершин будут:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-X_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-X_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-X_A, V_D = y_D-y_A #

Наш параллелограмм теперь определяется двумя векторами:

# Р = (U_B, V_B) # а также # Д = (U_D, V_D) #

Определить длину базы # AB # как длина вектора #п#:

# | AB | = SQRT (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Длина высоты # | DH | # может быть выражено как # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Длина #ОБЪЯВЛЕНИЕ# длина вектора # Д #:

# | AD | = SQRT (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Угол #/_ПЛОХОЙ# можно определить с помощью двух выражений для скалярного (точечного) произведения векторов #п# а также # Д #:

# (Р * д) = U_B * U_D + V_B * V_D = | р | * | д | * соз (/ _ BAD) #

из которого

# сов ^ 2 (/ _ БАД) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Грешить ^ 2 (/ _ BAD) = 1-соз ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Теперь мы знаем все компоненты для расчета площади:

База # | AB | = SQRT (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

высота над уровнем моря # | DH | = SQRT (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Площадь их продукта:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

С точки зрения исходных координат это выглядит так:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Ответ:

другое обсуждение

Объяснение:

Геометрическое доказательство

Учитывая фигуру

мы можем легко установить формулу для вычисления площади параллелограмма ABCD, когда известны любые три вершины (скажем, A, B, D).

Поскольку диагональ BD делит параллелограмм на два конгруэнтных треугольника.

Площадь параллелограмма ABCD

= 2 площадь треугольника ABD

= 2 площадь трапеции BAPQ + площадь ловушки BQRD - площадь ловушки DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR), QR--1/2 (АР + ДР) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A)

=# Y_AX_B + отменить (Y_BX_B) -отменить (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + отменить (Y_DX_D) -отменить (Y_BX_B) -Y_AX_D-отменить (Y_DX_D) + отменить (Y_AX_A) + Y_D

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-ХА) + Y_D (X_A-X_B) #

Эта формула даст площадь параллелограмма.

Доказательство с учетом вектора

Это также может быть установлено с учетом #vec (АВ) # а также# vec (AD) #

Сейчас

Вектор положения точки A w.r, t начала координат O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Вектор положения точки B w.r, t начала координат O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Вектор положения точки D w.r, t начала координат O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Сейчас

Площадь параллелограмма ABCD

# = База (AD) * Высота (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | VEC (AD) Xvec (AB) | #

Снова

#vec (AD) = VEC (ОП) -vec (ОА) = (X_D-X_A) хати + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (АВ) = VEC (ОВ) -vec (ОА) = (X_B-X_A) хати + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #Икс#vec (АВ) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Площадь = # | VEC (AD) #Икс#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + отмена (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-отмена (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Таким образом, мы имеем ту же формулу