Пожалуйста, помогите мне в этом, как это сделать?

Ответ:

#k = 3 #

Объяснение:

Используя свойства показателей, которые # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # а также # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, у нас есть

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

таким образом #13!# делится на # 24 ^ к # если и только если #13!# делится на # 2 ^ (3k) # и делится на # 3 ^ к #.

Мы можем сказать величайшую силу #2# с помощью которого #13!# делится на, если мы посмотрим на его факторы, которые делятся на #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Поскольку ни один из странных факторов не способствует #2#, у нас есть

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

где # М # некоторое целое число не делится на #2#, Таким образом, мы знаем, что #13!# делится на # 2 ^ (3k) # если и только если #2^10# делится на # 2 ^ (3k) #, имея в виду # 3k <= 10 #, Как # К # является целым числом, это означает, #k <= 3 #.

Далее мы можем посмотреть, какие факторы #13!# делятся на #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Как нет других факторов #13!# внести какие-либо факторы #3#, это означает

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

где # П # некоторое целое число не делится на #3#, Таким образом, мы знаем, что #3^5# делится на # 3 ^ к #, имея в виду #k <= 5 #.

Наибольшее неотрицательное целое число, удовлетворяющее ограничениям #k <= 3 # а также #k <= 5 # является #3#, давая нам наш ответ # К = 3 #.

Калькулятор подтвердит, что #(13!)/24^3 = 450450#, в то время как #(13!)/24^4=18768.75#