Перепишите уравнение в повернутой x'y'-системе без члена x'y '. Могу ли я получить помощь? Спасибо!

Ответ:

Второй выбор:

# Х ^ 2/4 + у ^ 2/9 = 1 #

Объяснение:

Данное уравнение

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

в общей декартовой форме для конического сечения:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

где #A = 31, B = 10 кв.м., C = 21, D = 0, E = 0 и F = -144 #

Упоминание Вращение осей дают уравнения, которые позволяют поворачивать коническое сечение на заданный угол, # Тета #, Кроме того, это дает нам уравнение, которое позволяет нам форсировать коэффициент # Х # стать 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Подставляя значения из уравнения 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Упростить:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Используйте уравнение (9.4.4b), чтобы убедиться, что новое вращение вызывает коэффициент # Х # срок должен быть 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # проверено.

Используйте уравнение (9.4.4a) для вычисления # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Используйте уравнение (9.4.4c) для вычисления # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Используйте уравнение (9.4.4f) для вычисления # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Теперь мы можем написать необращенную форму:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Разделите обе стороны на 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Добавьте 1 к обеим сторонам:

# Х ^ 2/4 + у ^ 2/9 = 1 #

Ответ:

Вариант Б

Объяснение:

Мы можем записать уравнение в матричной форме и затем повернуть его на своей главной оси.

Позволять:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = топор ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

# подразумевает a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

И так в матричной форме:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 квадратный квадрат #

Вращать оси # BBX # от # Тета #:

#bb x ^ '= R (тета) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Транспонирование #bb x ^ '= R bb x #:

# подразумевает bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

# подразумевает bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #так как R ортогонально

• # подразумевает bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Поместив эти последние 2 результата в #площадь#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

Если я р это матрица, которая диагонализирует M, тогда мы имеем уравнение в терминах его главных осей для диагональной матрицы собственных векторов Dт.е.

• #D = R M R ^ (- 1) #

M Собственные значения 36 и 16, поэтому его можно по диагонали:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #