Что такое интеграл от int tan ^ 5 (x)?

Ответ:

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Объяснение:

#int tan ^ (5) (x) dx #

Зная тот факт, что # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 #мы можем переписать это как

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #, который дает

#int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

Первый интеграл:

Позволять # u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Второй интеграл:

Позволять #u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Следовательно

#int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx #

Также обратите внимание, что #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #, таким образом, давая нам

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C #

Подставляя # # U обратно в выражение дает нам наш конечный результат

# 1 / 4sec ^ (4) (х) -cancel (2) * (1 / отменить (2)) сек ^ (2) (х) + пер | с (х) | + C #

таким образом

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Что такое интеграл от int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Наша большая проблема в этом интеграле - корень, поэтому мы хотим от него избавиться. Мы можем сделать это, введя подстановку u = sqrt (2x-1). Тогда производная равна (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1). Таким образом, мы делим (и помните, что деление на обратное равнозначно умножению на знаменатель) для интегрирования по u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / отмена (sqrt (2x-1)) отменить (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Теперь все, что нам нужно сделать, это выразить x ^ 2 через u (поскольку вы не можете интегрировать x

Что такое интеграл от int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) + 1)) + п (абс (SQRT (1 + е ^ (2x)) - 1))] + SQRT (1 + е ^ (2x)) + C Сначала подставим: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Выполнить вторая замена: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Разделить, используя частичные дроби: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2. Теперь мы имеем:

Что такое интеграл от int tan ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Решение антидеривативов триггера обычно включает в себя разбиение интеграла, чтобы применить пифагорейские тождества, и их с помощью u-замены. Это именно то, что мы будем делать здесь. Начните с переписывания inttan ^ 4xdx как inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Теперь мы можем применить пифагорейскую идентичность tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x или tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx Распределение tan ^ 2x : color (white) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Применение правила сумм: color (white) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx Мы оценим эти интегралы один за други