Решите для х в RR уравнение sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Ответ:

#x в 5, 10 #

Объяснение:

Позволять # U = X-1 #, Затем мы можем переписать левую часть уравнения как

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | SQRT (и) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Обратите внимание на наличие #sqrt (и) # в уравнении и что мы ищем только реальные значения, поэтому у нас есть ограничение #u> = 0 #, Теперь мы рассмотрим все оставшиеся случаи:

Случай 1: # 0 <= u <= 4 #

# | SQRT (и) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

таким образом # И = 4 # является единственным решением в интервале #0, 4#

Случай 2: # 4 <= u <= 9 #

# | SQRT (и) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Поскольку это тавтология, каждое значение в #4, 9# это решение.

Случай 3: #u> = 9 #

# | SQRT (и) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

таким образом #u = 9 # является единственным решением в интервале # 9, оо) #

Взятые вместе, мы имеем #4, 9# в качестве решения для реальных значений # # U, Подставляя в #x = u + 1 #, мы приходим к окончательному набору решений #x в 5, 10 #

Если посмотреть на график с левой стороны, это соответствует тому, что мы ожидаем: