Вопрос 53a2b + Пример

Ответ:

Это определение расстояния инвариантно при изменении инерциальной системы отсчета и поэтому имеет физический смысл.

Объяснение:

Пространство Минковского построено как четырехмерное пространство с параметрами координат # (X_0, x_1, x_2, x_3, X_4) #где мы обычно говорим # X_0 = кт #, В основе специальной теории относительности лежат преобразования Лоренца, которые представляют собой преобразования из одной инерциальной системы отсчета в другую, которые оставляют скорость света неизменной. Я не буду вдаваться в полный вывод преобразований Лоренца, если вы хотите, чтобы я это объяснил, просто спросите, и я пойду более подробно.

Важно следующее. Когда мы смотрим на евклидово пространство (пространство, в котором у нас есть обычное определение длины, к которому мы привыкли # DS ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), у нас есть определенные преобразования; пространственные повороты, перемещения и отражения. Если мы вычислим расстояние между двумя точками в различных системах отсчета, связанных этими преобразованиями, мы найдем, что расстояние одинаково. Это означает, что евклидово расстояние инвариантно относительно этих преобразований.

Теперь мы расширим это понятие до 4-мерного пространства-времени. Перед теорией специальной теории относительности Эйнштейна мы связали инерциальные системы отсчета преобразованиями Галилея, которые просто заменили пространственную координату # X_i # от # X_i-v_it # за #iin {1,2,3} # где # V_i # это скорость наблюдателя в #я# направление относительно исходного кадра. Это преобразование не оставило скорость света неизменной, но оно оставило расстояние, индуцированное линейным элементом # DS ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #просто потому, что нет никаких изменений в координате времени, поэтому время является абсолютным.

Однако преобразование Галилея не точно описывает преобразование одной инерциальной системы координат в другую, потому что мы знаем, что скорость света инвариантна при правильных преобразованиях координат. Поэтому мы ввели преобразование Лоренца. Евклидово расстояние, простирающееся до 4-мерного пространства-времени, как сделано выше, не является инвариантным при этом преобразовании Лоренца, однако расстояние, индуцированное # DS ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # есть, что мы называем правильное расстояние. Таким образом, даже несмотря на то, что это евклидово расстояние, которое имеет место в теореме Пифагора, является совершенно приличной математической структурой в 4-мерном пространстве, оно не имеет никакого физического смысла, поскольку оно зависит от наблюдателя.

Подходящее расстояние не зависит от наблюдателя, поэтому мы можем придать ему физический смысл, это делается путем соединения длины мировой линии через пространство Минковского, используя это расстояние с прошедшим временем, наблюдаемым объектом, путешествующим по этой мировой линии. Обратите внимание, что если мы оставим время фиксированным, теорема Пифагора все еще справедлива в пространственных координатах.

РЕДАКТИРОВАТЬ / ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПОЯСНЕНИЕ:

Первоначальный задающий этот вопрос попросил меня уточнить немного, он написал: «Спасибо. Но не могли бы вы объяснить, пожалуйста, два последних параграфа немного подробнее. В книге, которую я видел, они имели # S ^ 2 = х ^ 2- (кт) ^ 2 #, Пожалуйста, объясните: «По сути, у нас есть двумерная версия того, что я описал выше. У нас есть описание пространства-времени с одним временным и одним пространственным измерением. По этому мы определяем расстояние или, точнее, норму (расстояние от происхождение в точку) # S # используя формулу # S ^ 2 = х ^ 2- (кт) ^ 2 # где #Икс# это пространственная координата и # Т # временная координата.

То, что я сделал выше, было трехмерной версией этого, но что более важно, я использовал # (Ds) ^ 2 # вместо # s ^ 2 # (Я добавил скобки для пояснения того, что в квадрате). Не вдаваясь в детали дифференциальной геометрии слишком много, если у нас есть линия, соединяющая две точки в пространстве, # DS # это длина крошечного отрезка линии, так называемого линейного элемента. Через 2D версию того, что я написал выше, мы имеем # DS ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, который связывает длину этого крошечного кусочка с крошечным изменением координат. Рассчитать расстояние от начала координат до точки # X_0 = а, x_1 = B # в пространстве-времени мы вычисляем длину прямой линии, идущей от начала координат до этой точки, эта линия задается # X_0 = а / bx_1 # где # X_1in 0, Ь #отметим, что # Dx_0 = а / bdx_1 #, так # DS ^ 2 = (1-а ^ 2 / б ^ 2) dx_1 ^ 2 #, так # DS = SQRT (1-а ^ 2 / б ^ 2) dx_1 #, который мы можем интегрировать, давая # S = int_0 ^ bsqrt (1-а ^ 2 / б ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-а ^ 2 / б ^ 2) = SQRT (б ^ 2-а ^ 2) #.

Следовательно # S ^ 2 = Ь ^ 2-а ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = х ^ 2- (кт) ^ 2 # в # (Т, х) # координаты.

Так что, действительно, то, что я написал выше, дает то, что вы читаете в книге. Однако версия линейного элемента позволяет рассчитать длину любой линии, а не только прямых. История о преобразовании Лоренца все еще держится, эта норма # S # инвариантен при смене системы отсчета, в то время как # Х ^ 2 + (кт) ^ 2 # не является.

Тот факт, что теорема Пифагора не выполняется, не так уж удивителен. Теорема Пифагора верна в евклидовой геометрии. Это означает, что пространство, в котором вы работаете, является плоским. Примером не плоских пространств является поверхность сферы. Если вы хотите найти расстояние между двумя точками на этой поверхности, вы берете длину кратчайшего пути по этой поверхности, соединяющего эти две точки. Если бы вы построили на этой поверхности прямоугольный треугольник, который бы выглядел очень иначе, чем треугольник в евклидовом пространстве, поскольку прямые не были бы прямыми, теорема Пифагора в общем случае не выполняется.

Другой важной особенностью евклидовой геометрии является то, что когда вы помещаете систему координат в это пространство, каждая координата выполняет ту же роль. Вы можете вращать оси и в конечном итоге с той же геометрией. В приведенной выше геометрии Минковского не все координаты играют одинаковую роль, поскольку оси времени в уравнениях имеют знак минус, а остальные - нет. Если бы этого знака минуса не было, время и пространство играли бы аналогичную роль в пространстве-времени или, по крайней мере, в геометрии. Но мы знаем, что пространство и время не одно и то же.