Каковы решения для (z-1) ^ 3 = 8i?

Ответ:

#z в {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Объяснение:

Для этой проблемы нам нужно знать, как найти # П ^ "е" # корни комплексного числа. Для этого мы будем использовать личность

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Из-за этой идентичности мы можем представить любое комплексное число как

# a + bi = Re ^ (itheta) # где #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # а также #theta = arctan (b / a) #

Теперь мы пройдемся по шагам, чтобы найти # 3 ^ "е" # корни комплексного числа # А + би #, Шаги для нахождения # П ^ "е" # корни похожи.

Дано # a + bi = Re ^ (itheta) # мы ищем все комплексные числа # Г # такой, что

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Как # Г # комплексное число, существует # R_0 # а также # Theta_0 # такой, что

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

затем

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Из этого мы сразу имеем # R_0 = R ^ (1/3) #, Мы также можем приравнять показатели # Е #, но отмечая, что как синус и косинус периодичны с периодом # 2р #то из оригинальной личности, # Е ^ (itheta) # будет так же. Тогда у нас есть

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # где #k в ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # где #k в ZZ #

Однако, как будто мы продолжаем добавлять # 2р # снова и снова мы получим одни и те же значения, мы можем игнорировать избыточные значения, добавив ограничение # theta_0 в 0, 2pi) #, то есть, #k в {0, 1, 2} #

Собрав все воедино, мы получаем набор решений

#z в {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (я (тета + 4pi) / 3)} #

Мы можем преобразовать это обратно в # А + би # Форма при желании, используя личность

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Применяя вышеизложенное к проблеме:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Используя описанный выше процесс, мы можем найти # 3 ^ "е" # корни #я#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) в {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

применение # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # у нас есть

# i ^ (1/3) в {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Наконец, мы подставляем в эти значения #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z в {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #