Позвольте быть N наименьшее целое число с 378 делителями. Если N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, каково значение {a, b, c, d} в NN?

Ответ:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Объяснение:

Учитывая номер # П # с первичной факторизацией #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #каждый делитель # П # имеет форму # P_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (бета_2) … p_k ^ (beta_k) # где #beta_i in {0, 1, …, alpha_i} #, Как есть # Alpha_i + 1 # выбор для каждого # Beta_i #количество делителей # П # дан кем-то

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (я = 1) ^ к (alpha_i + 1) #

Как # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ д #количество делителей # N # дан кем-то # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #, Таким образом, наша цель - найти # (a, b, c, d) # так, что вышеупомянутый продукт содержит и # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ д # минимален Поскольку мы минимизируем, мы будем предполагать, что с этого момента #a> = Ь> = с> = D # (если бы это было не так, мы могли бы поменять местами экспоненты, чтобы получить меньший результат с тем же числом делителей).

Отмечая что # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #мы можем рассмотреть возможные случаи, когда #378# записывается как произведение четырех целых чисел # k_1, k_2, k_3, k_4 #, Мы можем проверить их, чтобы увидеть, какой из них дает наименьший результат для # N #.

Формат: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (red) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Мы можем остановиться здесь, так как любые дальнейшие случаи будут иметь #k_i> = 27 #, давая # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, что уже больше, чем в нашем лучшем случае.

По вышеупомянутой работе, то # (a, b, c, d) # который производит минимальный # N # с #378# делители это # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, давая #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #