Ответ:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Объяснение:
Позволять #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Предположим, что мы имеем дело с реальными значениями и, следовательно, с натуральным логарифмом.
Тогда мы вынуждены #x> 0 # для того чтобы #ln (5x) # быть определенным.
Для любого #x> 0 # оба термина хорошо определены и так #f (х) # является четко определенной функцией с доменом # (0, oo) #.
Обратите внимание, что # 3LN (5) # а также # Х ^ 3 # оба являются строго монотонными нарастающими в этой области, поэтому наша функция тоже и является взаимно-однозначной.
Для небольших положительных значений #Икс#, семестр # Х ^ 3 # маленький и положительный, и термин # 3LN (5x) # сколь угодно большой и отрицательный.
Для больших положительных значений #Икс#, семестр # 3LN (5x) # положительный и срок # Х ^ 3 # сколь угодно большой и положительный.
Поскольку функция также непрерывна, диапазон # (- оо, оо) #
Так что для любой стоимости #y in (-oo, oo) # есть уникальная ценность #x in (0, oo) # такой, что #f (x) = y #.
Это определяет нашу обратную функцию:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
То есть #f ^ (- 1) (у) # это значение #Икс# такой, что #f (x) = y #.
Мы показали (неофициально), что это существует, но не существует алгебраического решения для #Икс# с точки зрения # У #.
График #f ^ (- 1) (у) # это график #f (х) # отражено в строке # У = х #.
В наборе обозначений:
#f = {(x, y) в (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) в RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
