Как вы находите предел [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] при приближении x к 0?

Ответ:

Выполните некоторое сопряженное умножение и упростите, чтобы получить #lim_ (x-> 0) (SiN х * грех ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Объяснение:

Прямая замена дает неопределенную форму #0/0#так что нам придется попробовать что-то еще.

Попробуйте умножить # (SiN х * грех ^ 2x) / (1-cosx) # от # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (SiN х * грех ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (SiN х * грех ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (SiN х * грех ^ 2x (1 + cosx)) / (1-соз ^ 2x) #

Этот метод известен как сопряженное умножение и это работает почти каждый раз. Идея состоит в том, чтобы использовать свойство разности квадратов # (А-б) (а + б) = а ^ 2-B ^ 2 # упростить числитель или знаменатель (в данном случае знаменатель).

Напомним, что # Грешить ^ 2x + соз ^ 2x = 1 #, или же # Грех ^ 2x = 1-соз ^ 2x #, Поэтому мы можем заменить знаменатель, который # 1-соз ^ 2x #, с # Грешить ^ 2x #:

# ((SiN х) (син ^ 2x) (1 + cosx)) / (син ^ 2x) #

Теперь # Грешить ^ 2x # отменяет:

# ((SiN х) (отменить (Sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (отмена (син ^ 2x)) #

# = (SiNx) (1 + cosx) #

Завершите, взяв предел этого выражения:

#lim_ (х-> 0) (SiNx) (1 + cosx) #

# = Lim_ (х> 0) (SiNx) lim_ (х-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#