В чем смысл ограничения функции?

Ответ:

Заявление #lim_ (x a) f (x) = L # означает: как #Икс# становится ближе к # A #, #f (х) # становится ближе к # L #.

Объяснение:

Точное определение:

Для любого реального числа #ε>0#существует другое действительное число #δ>0# такой, что если # 0 <| х-а |<>, затем # | Е (х) -L |<>.

Рассмотрим функцию #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Если мы построим график, он будет выглядеть так:

Мы не можем сказать, какова стоимость в # Х = 1 #, но это выглядит так, как будто #f (х) # подходы #2# как #Икс# подходы #1#.

Давайте попробуем показать, что #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Вопрос в том, как мы получаем от # 0 <| х-1 |<> в # | (Х ^ 2-1) / (х-1) -2 | <>?

Мы должны начать с некоторого значения #ε# а затем найти найти соответствующее значение для #δ#.

Давайте начнем с

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((Х + 1) (х-1)) / (х-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Другое условие

# | Х-1 | <δ #

Определение подходит точно, если #δ = ε#.

Мы только что показали, что для любого #ε#, Eсть #δ# чтобы # | Р (х) -2 |<> когда # 0 <| х-1 |<>.

Итак, мы показали, что

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #