Каково уравнение касательной к f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x при x = sqrtpi?

Ответ:

Уравнение примерно:

#y = 3.34x - 0.27 #

Объяснение:

Для начала нам нужно определить #f '(х) #, чтобы мы знали, что такое наклон #f (х) # в любой момент, #Икс#.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

используя правило продукта:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Это стандартные производные:

# д / дх е ^ х = е ^ х #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Таким образом, наша производная становится:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Вставка данного #Икс# значение, уклон при #sqrt (р) # является:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Это наклон нашей линии в точке # x = sqrt (pi) #, Затем мы можем определить y-перехват, установив:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Это дает нам неупрощенное уравнение для нашей линии:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

Решая для b, мы получаем раздражающе сложную формулу:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Таким образом, наша линия заканчивается:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Если мы на самом деле вычислим, к чему равны эти надоедливо большие коэффициенты, мы получим приблизительную строку:

#y = 3.34x - 0.27 #