Какие типичные ошибки студенты делают с эллипсами в стандартной форме?

Стандартная форма для эллипса (как я учу) выглядит так: # (Х-х) ^ 2 / а ^ 2 + (у-к) ^ 2 / б ^ 2 = 1 #.

(ч, к) является центром.

расстояние «а» = как далеко вправо / влево двигаться от центра, чтобы найти горизонтальные конечные точки.

расстояние "b" = как далеко вверх / вниз, чтобы переместиться от центра, чтобы найти вертикальные конечные точки.

Я думаю, что часто студенты ошибочно думают, что # А ^ 2 # это как далеко от центра, чтобы найти конечные точки. Иногда это будет очень большое расстояние для путешествий!

Кроме того, я думаю, что иногда студенты ошибочно двигаются вверх / вниз вместо вправо / влево, применяя эти формулы к своим задачам.

Вот пример для разговора:

# (Х-1) ^ 2/4 + (у + 4) ^ 2/9 = 1 #

Центр (1, -4). Вы должны двигаться вправо и влево «a» = 2 единицы, чтобы получить горизонтальные конечные точки в (3, -4) и (-1, -4). (см. изображение)

Вы должны двигаться вверх и вниз "b" = 3 единицы, чтобы получить вертикальные конечные точки в (1, -1) и (1, -7). (см. изображение)

Поскольку a <b, большая ось будет в вертикальном направлении.

Если a> b, большая ось будет двигаться в горизонтальном направлении!

Если вам нужно узнать какую-либо другую информацию об эллипсах, задайте еще один вопрос!

(Путаница относительно того, # A # а также # Б # представляют основные / второстепенные радиусы, или #Икс#- & # У #-radii)

Напомним, что стандартная форма для эллипса по центру в начале координат является

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Тем не менее, некоторые из них уже не согласны с формулой, указанной выше. Некоторые школы мысли считают, что # A # всегда должен быть больше чем # Б # и, таким образом, представляют длину основного радиуса (даже если основной радиус лежит в вертикальном направлении, что позволяет # У ^ 2 / а ^ 2 # в таком случае), в то время как другие считают, что он всегда должен представлять #Икс#-радиус (даже если #Икс#-радиус это малый радиус).

То же самое относится и к # Б #правда, наоборот. (то есть некоторые считают, что # Б # всегда должен быть второстепенным радиусом, а другие считают, что он всегда должен быть # У #-радиус).

Убедитесь, что вы знаете, какой метод предпочитает ваш инструктор (или программа, которую вы используете). Если нет сильных предпочтений, то просто решите для себя, но соответствовать вашему решению, Передумать на полпути через задание сделает вещи неясными, и передумать на полпути через один проблема просто приведет к ошибкам.

(Радиус / ось путаница)

Кажется, что большинство ошибок в эллипсах являются следствием этой путаницы относительно того, какой радиус является большим, а какой - второстепенным. Другие возможные ошибки могут возникнуть, если спутать большой радиус с большой осью (или малый радиус с малой осью). Большая (или малая) ось равна удвоенному большому (или второстепенному) радиусу, так как это по существу большой (или второстепенный) диаметр. В зависимости от этапа, на котором возникает эта путаница, это может привести к серьезным ошибкам в масштабе для эллипса.

(Радиус / радиус квадрат путаница)

Аналогичная ошибка возникает, когда студенты забывают, что знаменатели (# a ^ 2, b ^ 2 #) - это квадраты радиусов, а не сами радиусы. Нередко можно увидеть ученика с такой проблемой, как # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # нарисовать эллипс с #Икс#-радиус 9 а # У #-Rdius 4. Кроме того, это может произойти в сочетании с вышеуказанной ошибкой (путаница с радиусом для диаметра), что приводит к таким результатам, как студент с приведенным выше уравнением рисует эллипс с большим диаметром 9 (и, следовательно, с большим радиусом 4.5), вместо правильного большого диаметра 6 (и большого радиуса 3).

(Гипербола и эллипс путаница) ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: ответ довольно длинный

Еще одна относительно распространенная ошибка возникает, если неправильно запомнить формулу для эллипса. В частности, наиболее распространенная из этих ошибок, по-видимому, возникает, когда мы путаем формулу для эллипсов с формулой для гипербол (которая, напомним, # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # или же # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # для тех, которые центрированы в начале координат, опять-таки с соблюдением соглашений о маркировке осей, перечисленных выше). Для этого полезно запомнить определение эллипсов и гипербол как конических сечений.

В частности, напомним, что эллипс является местом точек, связанных с двумя фокусами # f_1 & f_2 # расположен вдоль большой оси так, что для произвольной точки #п# на локусе, расстояние от #п# в # F_1 # (помеченный # D_1 #) плюс расстояние от #п# в # F_2 # (помеченный # D_2 #) равно двойному большому радиусу (т. е. если # A # это основной радиус, # d_1 + d_2 = 2a #). Кроме того, расстояние от центра до любого из этих фокусов (иногда называемых полуфокальное разделение или же линейный эксцентриситет), предполагая # A # является основным радиусом, равен #sqrt (а ^ 2-Ь ^ 2) #.

Напротив, гипербола - это место точек, связанных с двумя очагами таким образом, что для точки #п# на месте, абсолютное значение разница между расстоянием точки до первого фокуса и расстоянием точки до второго фокуса равно удвоенному значительному радиусу (т.е. с # A # большой радиус, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Кроме того, расстояние от центра гиперболы до любого из этих фокусов (опять-таки иногда называется линейным эксцентриситетом и все еще предполагает # A # большой радиус) равен #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Относительно определения конических сечений, в целом эксцентричность # Е # сечения определяет, является ли это кругом (# Е = 0 #), эллипс (# 0 <e <1 #), парабола (# Е = 1 #) или гипербола (#e> 1 #). Для эллипсов и гипербол эксцентриситет может быть рассчитан как отношение линейного эксцентриситета к длине большого радиуса; таким образом, для эллипса это будет #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (и, следовательно, обязательно меньше 1), и для гиперболы это будет #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (и, следовательно, обязательно больше 1).