Пусть N будет положительным целым числом с 2018 десятичными цифрами, все они 1: это N = 11111cdots111. Что такое тысяча цифр после десятичной точки sqrt (N)?

Пусть N будет положительным целым числом с 2018 десятичными цифрами, все они 1: это N = 11111cdots111. Что такое тысяча цифр после десятичной точки sqrt (N)?
Anonim

Ответ:

#3#

Объяснение:

Обратите внимание, что данное целое число #1/9(10^2018-1)#поэтому положительный квадратный корень очень близок к #1/3(10^1009)#

Обратите внимание, что:

#(10^1009-10^-1009)^2 = 10^2018-2+10^-2018 < 10^2018-1#

#(10^1009-10^-1010)^2 = 10^2018-2/10+10^-2020 > 10^2018-1#

Так:

# 10 ^ 1009-10 ^ -1009 <sqrt (10 ^ 2018-1) <10 ^ 1009-10 ^ -1010 #

а также:

# 1/3 (10 ^ 1009-10 ^ -1009) <sqrt (1/9 (10 ^ 2018-1)) <1/3 (10 ^ 1009-10 ^ -1010) #

Левая часть этого неравенства:

#overbrace (333 … 3) ^ "1009 раз".overbrace (333 … 3) ^ "1009 раз" #

и правая часть:

#overbrace (333 … 3) ^ "1009 раз".overbrace (333 … 3) ^ "1010 раз" #

Итак, мы можем видеть, что #1000#десятичное место #3#.