Докажите: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Чтобы доказать # 3cos ^ -1X = соз ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Позволять # соз ^ -1x = тета #

# => Х = costheta #

Сейчас # LHS = 3theta #

# = Соз ^ -1cos (3theta) #

# = Соз ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Соз ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Шоу

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Иногда триг не столько о математике, сколько о распознавании математики, когда мы ее видим. Здесь мы узнаем # 4x ^ 3 -3x # как формула тройного угла косинуса, # cos (3 theta) # когда # x = cos theta #.

Factoid: # 4x ^ 3-3x # также называется # T_3 (х) #третий полином Чебышева первого рода. В общем, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Мы примем # Агссоз # относится к основной стоимости. Я предпочитаю звонить директору #text {Arc} текст {соз} # но это сложнее набрать.

Достаточно фона. Как только мы определили формулу тройного угла, доказательство легко.

доказательство:

Позволять #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #