Каков диапазон функции f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Ответ:

Диапазон #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Объяснение:

Обратите внимание, что знаменатель неопределен всякий раз, когда

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, то есть всякий раз, когда

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

или же

#x = x_ (2, n) = (5 пи) / 6 + n 2pi #, где #n в ZZ # (# П # является целым числом).

Как #Икс# подходы #x_ (1, п) # снизу, #f (х) # подходы # - infty #в то время как если #Икс# подходы #x_ (1, п) # сверху тогда #f (х) # подходы # + Infty #, Это связано с делением на «почти #-0# или же #+0#'.

За #x_ (2, п) # ситуация обратная. Как #Икс# подходы #x_ (2, п) # снизу, #f (х) # подходы # + Infty #в то время как если #Икс# подходы #x_ (2, п) # сверху тогда #f (х) # подходы # -Infty #.

Мы получаем последовательность интервалов, в которой #f (х) # является непрерывным, как видно на графике. Рассмотрим сначала «чаши» (на концах которых функция взрывается до # + Infty #). Если мы можем найти локальные минимумы в этих интервалах, то мы знаем, что #f (х) # принимает все значения между этим значением и # + Infty #, Мы можем сделать то же самое для «перевернутых мисок» или «крышек».

Мы отмечаем, что наименьшее положительное значение получается всякий раз, когда знаменатель в #f (х) # как можно больше, то есть когда #sin (x) = 1 #, Итак, мы заключаем, что наименьшее положительное значение #f (х) # является #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Самым большим отрицательным значением также является #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Из-за преемственности #f (х) # в промежутках между разрывами и теоремой промежуточного значения, мы можем сделать вывод, что диапазон #f (х) # является

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Жесткие скобки означают, что число включено в интервал (например, #-1/2#), а мягкие скобки означают, что номер не указан.

график {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}