Как мне решить 2sinx = cos (x / 3)?

Ответ:

Наши приблизительные решения:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ или -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

для целого числа # К #.

Объяснение:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Это довольно сложный вопрос.

Давайте начнем с настройки # У = х / 3 # так # х = 3y # и замена. Тогда мы можем использовать формулу тройного угла:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Давайте квадрат, поэтому мы пишем все с точки зрения # sin ^ 2 года #, Это может привести к появлению посторонних корней.

# 4 грех ^ 2y (3 - 4 грех ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - грех ^ 2 y #

Позволять # s = sin ^ 2 года #, Квадраты синусов называются спреды в рациональной тригонометрии.

# 4 с (3 - 4 с) ^ 2 = 1 - с #

# 4 с (9 - 24 с + 16 с ^ 2) = 1 - с #

# 64 с ^ 3 - 96 с ^ 2 + 37 с - 1 = 0 #

Это кубическое уравнение с тремя действительными корнями, кандидатами в квадраты синусов # 3x. # Мы могли бы использовать кубическую формулу, но это приведет к кубическим корням комплексных чисел, которые не особенно полезны. Давайте просто примем численное решение:

# s 0.66035 или s 0.029196 или s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Давайте работать в градусах. Наши потенциальные приблизительные решения:

# x = 3 арксинуса (pm sqrt {0.66035}) приблизительно pm 163.058 ^ circ или pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 арксинуса (pm sqrt {0.029196}) приблизительно pm 29.5149 ^ circ или pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 арксинуса (pm sqrt {0.81045}) приблизительно pm 192.573 ^ circ или pm 732.573 ^ circ #

Посмотрим, будет ли какая-нибудь из этих работ. Позволять #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163,058 ^ круг) прибл. 0,00001 квад # это решение.

#e (-163.058 ^ circ) приблизительно -1.17 quad # не решение

Очевидно, самое большее один из #вечера# пара будет работать.

Осталось еще десять.

#e (703.058 ^ круг) прибл. 0,00001 квад. кв.

#e (-703.058 ^ circ) quad # Нету

#e (29.5149 ^ circ) приблизительно 10 ^ {- 6} квадратов #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # Нету

#e (569.51 ^ circ) приблизительно 10 ^ {- 4} квадратов #

#e (-569.51 ^ circ) quad # Нету

#e (192.573 ^ круг) приблизительно -.87 квад Нету

#e (-192.573 ^ circ) приблизительно 0,00001 квадратора квадрата #

#e (732.573 ^ circ) приблизительно -.87 quad # Нету

#e (-732.573 ^ circ) приблизительно 0,00001 квадратора квадрата #

Арксин поставляется с # + 360 ^ Cir K #и фактор три делает это # 1080 ^ Cir K. #

ОК, наши приблизительные решения:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # для целого числа # К #.