Как я могу решить это дифференциальное уравнение?

Ответ:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Объяснение:

Это отделимое дифференциальное уравнение Это просто означает, что можно сгруппировать #Икс# термины & # У # члены на противоположных сторонах уравнения. Итак, вот что мы будем делать в первую очередь:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Теперь мы хотим получить DY на стороне с Y и DX на стороне с X. Нам нужно сделать немного реорганизации:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Теперь мы интегрируем обе стороны:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Давайте сделаем каждый интеграл по очереди:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Во-первых, давайте разделим это на 2 отдельных интеграла по правилу сложения / вычитания:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Они выглядят довольно раздражающими. Тем не менее, мы можем немного изменить их, чтобы они выглядели лучше (и их было гораздо проще решить):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Оба из них теперь просты # # Uподстановочные интегралы. Если вы установите #u = -x # а также # -3x # соответственно вы получите ответ как:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# Если мы сделаем отрицательный показатель положительным, мы получим:

#int (вы ^ у) ау #

Для этого нам нужно будет использовать интеграцию по частям. Формула:

#int (уф) ау = уф-ИНТ (v * ди) #

Мы собираемся установить #u = y #, а также #dv = e ^ y dy #, Причина в том, что мы хотим легкого # # Их для этой окончательной интеграции, а также потому, что # Е ^ у # очень легко интегрировать.

Так:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Теперь мы просто подключаемся

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = вы ^ у - е ^ у #

Положив все обратно:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Избавление от отрицательных показателей:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

И это довольно приличный окончательный ответ. Если вы хотите решить для # У #, вы могли бы, и вы бы в конечном итоге

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Обратите внимание, что у нас нет # + C # на LHS этого уравнения. Причина этого заключается в том, что даже если бы мы это сформулировали, мы в конечном итоге вычли бы это из RHS, и произвольная постоянная минус произвольная постоянная все еще (жду ее) произвольная постоянная. Следовательно, для этих проблем, пока у вас есть # + C # с любой стороны уравнения, вы будете в порядке.

Надеюсь, что помогло:)