Каков периметр правильного восьмиугольника с радиусом длины 20?

Ответ:

Это зависит:

Если внутренний радиус #20#тогда периметр будет:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Если внешний радиус #20#тогда периметр будет:

# 160 кв.м. (2 кв.м. (2)) ~~ 122.46 #

Объяснение:

Здесь красный круг описывает внешний радиус, а зеленый круг - внутренний.

Позволять #р# быть внешним радиусом - это радиус красного круга.

Тогда вершины восьмиугольника с центром в #(0, 0)# находятся в:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Длина одной стороны - это расстояние между # (r, 0) # а также # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((г-г / SQRT (2)) ^ 2+ (г / SQRT (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Таким образом, общий периметр:

#color (red) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Так что, если внешний радиус #20#тогда периметр будет:

# 8 * 20 кв. (2 кв. (2)) = 160 кв. (2 кв. (2)) ~~ 122,46 #

#белый цвет)()#

Внутренний радиус будет # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Так #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Тогда общий периметр

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Цвет (зеленый) (16r_1 (SQRT (2) -1)) #

Так что если внутренний радиус #20#тогда периметр будет:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132,55 #

#белый цвет)()#

Какое хорошее приближение для #число Пи# это дает нам?

Пока мы здесь, какое приближение для #число Пи# мы получаем путем усреднения внутреннего и внешнего радиусов?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… так не здорово.

Чтобы получить такое хорошее приближение, как #355/113 ~~ 3.1415929#Китайский математик Цзу Чончжи использовал #24576# (# = 2 ^ 13 хх 3 #) многогранник и счетные стержни.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi