Одно положительное целое число на 3 меньше, чем в два раза больше другого. Сумма их квадратов равна 117. Какие целые числа?

Ответ:

#9# а также #6#

Объяснение:

Квадраты первых нескольких натуральных чисел:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Единственные два, чья сумма #117# являются #36# а также #81#.

Они соответствуют условиям, так как:

#color (синий) (6) * 2-3 = цвет (синий) (9) #

а также:

# цвет (синий) (6) ^ 2 + цвет (синий) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Таким образом, два целых числа #9# а также #6#

Как мы могли бы найти это более формально?

Предположим, что целые числа # М # а также # П #, с:

#m = 2n-3 #

Затем:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Так:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

# color (white) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

# color (white) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

# color (white) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

# color (white) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

# color (white) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

# color (white) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Следовательно:

#n = 6 "" # или же # "" n = -18 / 5 #

Нас интересуют только положительные целочисленные решения, поэтому:

#n = 6 #

Затем:

#m = 2n-3 = 2 (цвет (синий) (6)) - 3 = 9 #