Какова длина лестницы, если лестница длиной L переносится горизонтально за угол из зала шириной 3 фута в зал шириной 4 фута?

Рассмотрим отрезок, идущий от # (Х, 0) # в # (0, у) # через внутренний угол в #(4,3)#.

Минимальная длина этого отрезка будет максимальной длиной лестницы, которую можно маневрировать вокруг этого угла.

Предположим, что #Икс# находится за пределами #(4,0)# по некоторому коэффициенту масштабирования, # S #, из 4, так

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

смотреть за # (1 + S) # обнаруживаясь позже как ценность, которая должна быть учтена из чего-либо.

По подобным треугольникам мы можем видеть, что

#y = 3 (1 + 1 / с) #

По теореме Пифагора мы можем выразить квадрат длины отрезка как функцию # S #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Обычно мы бы взяли производную от L (s), чтобы найти минимум, но в этом случае проще взять производную от # L ^ (2) #.

(Обратите внимание, что если #L (ы) # это минимум как # S = s_0 #, затем # L ^ (2) # также будет минимум на # S = s_0 #.)

Взяв первую производную # L ^ (2) # и установив его на ноль, мы получим:

# 3 ^ 2 (-2 с ^ (- 3) - 2 с ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2 с) = 0 #

Умножение на # s ^ 3 # а затем с учетом # 2 (1 + s) #

позволяет нам решить для # S #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Вставив это значение обратно в уравнение для # L ^ (2) # и взяв квадратный корень (я использовал электронную таблицу), мы получаем

максимальная длина лестницы # = 9,87 футов # (Прибл.)