Какова область и диапазон функции: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Ответ:

Домен # (- оо, оо) # и диапазон #0, 1/2#

Объяснение:

Дано:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Обратите внимание, что для любой реальной стоимости #Икс#знаменатель # 1 + х ^ 4 # ненулевой

следовательно #f (х) # хорошо определено для любой реальной стоимости #Икс# и его домен # (- оо, оо) #.

Чтобы определить диапазон, позвольте:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Умножьте оба конца на # 1 + х ^ 4 # получить:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

Вычитание # Х ^ 2 # с обеих сторон, мы можем переписать это как:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

Это будет иметь реальные решения, только если его дискриминант неотрицателен. Ввод # А = у #, # Б = -1 # а также # С = у #дискриминант # Delta # дан кем-то:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

Итак, мы требуем:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Следовательно:

# y ^ 2 <= 1/4 #

Так # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

Кроме того, обратите внимание, что #f (x)> = 0 # для всех реальных значений #Икс#.

следовательно # 0 <= y <= 1/2 #

Так что ассортимент #f (х) # является #0, 1/2#