Два угла равнобедренного треугольника находятся в (7, 5) и (3, 6). Если площадь треугольника равна 6, каковы длины сторон треугольника?

Ответ:

Есть несколько способов сделать это; путь с наименьшим количеством шагов объясняется ниже.

Вопрос неоднозначен относительно того, какие две стороны имеют одинаковую длину. В этом объяснении мы будем предполагать, что две стороны равной длины еще не найдены.

Объяснение:

Длину одной стороны мы можем определить только по заданным нами координатам.

# А = SQRT ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# А = SQRT (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# А = SQRT (16 + 1) #

# А = sqrt17 #

Тогда мы можем использовать формулу для площади треугольника с точки зрения его длины сторон, чтобы выяснить, # Б # а также # C #.

# А = SQRT (ы (с-а) (S-B) (с-с)) #

где # S = (A + B + C) / 2 # (называется -полупериметр)

поскольку # А = SQRT (17) # известен, и мы предполагаем # B = C #, у нас есть

# S = (sqrt17 + Ь + Ь) / 2 #

#color (красный) (с = sqrt17 / 2 + Ь) #

Подставляя это в формулу площади выше, а также # А = 6 # а также # А = sqrt17 #, мы получаем

# 6 = SQRT ((цвет (красный) (SQRT (17) / 2 + Ь)) (цвет (красный) (SQRT (17) / 2 + Ь) -sqrt17) (цвет (красный) (SQRT (17) / 2 + Ь) -b) (цвет (красный) (SQRT (17) / 2 + Ь) -b)) #

# 6 = SQRT ((SQRT (17) / 2 + Ь) (- SQRT (17) / 2 + Ь) (SQRT (17) / 2) (SQRT (17) / 2)) #

# 6 = (SQRT (17) / 2) SQRT ((Ь + SQRT (17) / 2) (б-SQRT (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = SQRT (б ^ 2- (sqrt17 / 2) 2 ^) #

N 144/17 = Ь ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = Ь ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = Ь ^ 2 #

# 865/68 = Ь ^ 2 #

# B = SQRT (865/68) = C #

Наше решение # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Сноска 1:

Возможно иметь треугольник с двумя сторонами длины #sqrt (17) # и площадь # А = 6 # (то есть иметь # А = Ь = SQRT (17) # вместо # B = C #). Это приведет к другому решению.

Сноска 2:

Мы могли бы также решить этот вопрос, найдя координаты 3-й точки. Это было бы связано с:

а) нахождение длины известной стороны # A #

б) нахождение склона # М # между двумя заданными точками

в) найти середину # (X_1, y_1) # между двумя заданными точками

г) нахождение "высоты" #час# этого треугольника, используя # A = 1/2 ах #

е) нахождение наклона высоты с использованием #m_h = (- 1) / м #

е) используя обе формулы наклона # M_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # и формула высоты # ч = SQRT ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # решить по одной из координат 3-й точки # (X_2, y_2) #

г) после объединения этих двух уравнений упрощение

# X_2 = ч / (SQRT (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) включение известных значений для #час#, # M_h #, а также # X_1 # получить # X_2 #

i) используя одно из двух уравнений в (f), чтобы найти # Y_2 #

j) используя формулу расстояния, чтобы найти оставшиеся (идентичные) длины сторон

# B = C = SQRT ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = SQRT ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Вы можете понять, почему первый способ проще.