Число 90 ^ 9 имеет 1900 различных положительных интегральных делителей. Сколько из них квадратов целых чисел?

Ответ:

Ух ты - я могу ответить на свой вопрос.

Объяснение:

Оказывается, что подход представляет собой сочетание комбинаторики и теории чисел. Начнем с факторинга #90^9# в его основные факторы:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Хитрость заключается в том, чтобы выяснить, как найти квадраты целых чисел, что относительно просто. Квадраты целых чисел могут быть сгенерированы различными способами из этой факторизации:

#5^9*3^18*2^9#

Мы это видим #5^0#например, является квадратом целого числа и делителем #90^9#; то же самое, #5^2#, #5^4#,#5^6#, а также #5^8# все также отвечают этим условиям. Поэтому у нас есть 5 возможных способов настроить делитель #90^9# это квадрат целого числа, используя только 5 с.

То же самое относится и к #3^18# а также #2^9#, Каждая четная сила этих простых факторов - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (всего 10) для 3 и 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5) для 2 - является идеальным квадратом, который является делителем #90^9#, Более того, любая комбинация из этих простых делителей, которые имеют четные полномочия, также удовлетворяет условиям. Например, #(2^2*5^2)^2# квадрат целого числа, как #(3^8*2^4)^2#; и оба, состоящие из делителей #90^9#являются также делителями #90^9#.

Таким образом, желаемое количество квадратов целых чисел, которые являются делителями #90^9# дан кем-то #5*10*5#, который является умножением возможных выборов для каждого простого множителя (5 для 5, 10 для 3 и 5 для 2). Это равно #250#, который является правильным ответом.