Диапазон e ^ x / ([x] +1), x> 0 и где [x] обозначает наибольшее целое число?

Ответ:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Объяснение:

Я предполагаю #Икс# наименьшее целое число больше, чем #Икс#, В следующем ответе мы будем использовать обозначение #ceil (х) #называется потолочной функцией.

Позволять #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #, поскольку #Икс# строго больше, чем #0#это означает, что домен # Е # является # (0, + оо) #.

Как #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # и с тех пор # Е ^ х # всегда позитивно, # Е # всегда строго больше, чем #0# в своей области. Важно отметить, что # Е # является не инъективный и также не является непрерывным в натуральных числах. Чтобы доказать это, позвольте # П # быть натуральным числом:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Так как #x> п #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Так же, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Так как левый и правый пределы не равны, # Е # не является непрерывным в целых числах. Также, #L> R # для всех #n в NN #.

Как # Е # увеличивается в интервалах, ограниченных натуральными числами, «наименьшие значения» за интервал будут #Икс# приближается к нижней границе справа.

Следовательно, минимальное значение # Е # будет

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Это нижняя граница диапазона # Е #.

Хотя не совсем правильно говорить, что # Е # увеличивается, это в смысле, асимптотически, приближается к бесконечности - как доказано ниже:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Как #ceilx> = x #существует #delta <1 # такой, что # Ceilx = х + дельта #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Позволять #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# Е ^ и # увеличивается в геометрической прогрессии в то время как # # U делает это линейно, что означает, что

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Поэтому ассортимент # Е # является

# "Range" = (1/2, oo) #

Интервал открыт слева, потому что #http: // 2 # все еще #f (0) #, и в качестве #Икс# подходы #0^+#, #f (х) # только подходы #http: // 2 #; это никогда не бывает по-настоящему равным.