Аккорд длиной 12 проходит от пи / 12 до пи / 6 радиан по кругу. Какова площадь круга?

Ответ:

Площадь круга

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Объяснение:

Картинка выше отражает условия, поставленные в задаче. Все углы (увеличенные для лучшего понимания) указаны в радианах, считая от горизонтальной оси X # OX # против часовой стрелки.

# АВ = 12 #

# / _ XOA = пи / 12 #

# / _ XOB = пи / 6 #

# ОА = ОВ = г #

Мы должны найти радиус круга, чтобы определить его площадь.

Мы знаем этот аккорд # AB # имеет длину #12# и угол между радиусами # OA # а также # OB # (где # O # является центром круга)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Построить высоту #ОЙ# треугольника # Delta AOB # из вершины # O # в сторону # AB #, поскольку # Delta AOB # равнобедренный, #ОЙ# медиана и биссектриса угла:

# AH = НВ = (АВ) / 2 = 6 #

# / _ = АОН / _ BOH = (/ _ А) / 2 = р / 24 #

Рассмотрим прямоугольный треугольник #Delta AOH #.

Мы знаем, что катет # AH = 6 # и угол # / _ Ога = пи / 24 #.

Следовательно, гипотенуза # OA #, который является радиусом нашего круга #р#равно

# Г = ОА = (АГ) / sin (/ _ АОН) = 6 / Sin (пи / 24) #

Зная радиус, мы можем найти площадь:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Давайте выразим это без тригонометрических функций.

поскольку

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

мы можем выразить площадь следующим образом:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Еще одна тригонометрическая идентичность:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Следовательно,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Теперь мы можем представить площадь круга как

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Ответ:

Другой подход тот же результат

Объяснение:

Аккорд AB длиной 12 на рисунке выше начинается с# Пи / 12 # в # Пи / 6 # в круге радиуса р и центр O, взятый как источник.

# / _ AOX = pi / 12 # а также # / _ BOX = пи / 6 #

Так полярная координата А # = (Г, пи / 12) # и это Б # = (Г, пи / 6) #

Применение формулы расстояния для полярной координаты

длина хорды АВ,# 12 = SQRT (г ^ 2 + г ^ 2-2 * R ^ 2 * соз (/ _ BOX - / _ АОГ) #

# => 12 ^ 2 = R ^ 2 + г ^ 2-2 * г ^ 2 * соз (пи / пи-6/12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-сов (пи / 12)) #

# => Г ^ 2 = 144 / (2 (1-сов (пи / 12)) #

# => Г ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-сов (пи / 12)) #

# => Г ^ 2 = 72 / (1-сов (пи / 12)) #

# => Г ^ 2 = 72 / (1-SQRT (1/2 (1 + соз (2 * пи / 12)) #

# => Г ^ 2 = 72 / (1-SQRT (1/2 (1 + сов (пи / 6)) #

# => Г ^ 2 = 72 / (1-SQRT (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Так что площадь круга

# = Пи * R ^ 2 #

# = (72pi) / (1-SQRT (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / # (1-SQRT ((2 + sqrt3) / 4)