Ответ:
Сходится к # 1 + я # (на моем графическом калькуляторе Ti-83)
Объяснение:
Позволять # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
Во-первых, предполагая, что этот бесконечный ряд сходится (т.е. предполагая, что S существует и принимает значение комплексного числа), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
И если вы решите для S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
и применяя квадратную формулу, вы получите:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm я #
Обычно функция квадратного корня принимает положительное значение # S = 1 + i #
Таким образом, если оно сходится, то оно должно сходиться к # 1 + я #
Теперь все, что вам нужно сделать, это доказать, что оно сходится или, если вы ленивы, как я, то вы можете подключить # sqrt {-2} # в калькулятор, который может обрабатывать мнимые числа и использовать отношение повторения:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Я повторил это много раз на своем Ti - 83 и обнаружил, что он становится ближе, например, после того, как я повторил это где-то примерно в 20 раз, я получил примерно
# 1,000694478 + 1.001394137i #
довольно хорошее приближение
