Каков ортоцентр треугольника с вершинами в O (0,0), P (a, b) и Q (c, d) #?

Ответ:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Объяснение:

Я обобщил этот старый вопрос, а не задавал новый. Я сделал это раньше для вопроса о центре и ничего плохого не случилось, поэтому я продолжаю серию.

Как и прежде, я помещаю одну вершину в начало координат, чтобы попытаться сохранить алгебру податливой. Произвольный треугольник легко переводится, а результат легко переводится обратно.

Ортоцентр - это пересечение высот треугольника. Его существование основано на теореме о том, что высоты треугольника пересекаются в точке. Мы говорим, что три высоты параллельный.

Давайте докажем, что высоты треугольника OPQ совпадают.

Вектор направления стороны OP равен # Р-О = Р = (а, б), # что это просто причудливый способ сказать, что склон # Б / у # (но вектор направления также работает, когда # А = 0 #). Мы получаем вектор направления перпендикуляра, меняя координаты и отрицая один, здесь # (Б, -a). # Перпендикулярно подтверждается произведением нулевой точки:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Параметрическое уравнение высоты от ОП до Q, таким образом:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # серьезно # Т #

Высота от OQ до P аналогично

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # серьезно # # U

Вектор направления PQ равен # Q-Р = (с-а, д-б) #, Перпендикуляр через начало координат, т.е. высоту от PQ, таким образом,

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # серьезно # V #

Давайте посмотрим на встречу высот из OP и PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Это два уравнения в двух неизвестных, # Т # а также # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Умножим первое на # A # а второй # Б #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Добавление, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Прохладный путь с точечным произведением в числителе и перекрестным произведением в знаменателе.

Встреча является предполагаемым ортоцентром # (Х, у) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Давайте найдем встречу высот от OQ и PQ дальше. По симметрии мы можем просто поменять # A # с # C # а также # Б # с # D #, Мы назовем результат # (Х 'у'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

У нас эти два пересечения одинаковы, # (x ', y') = (x, y), # Итак, мы доказали, что высоты совпадают. #quad sqrt #

Мы обосновали наименование общего пересечения ортоцентр и мы нашли его координаты.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #