Каковы вертикальные и горизонтальные асимптоты y = (x + 3) / (x ^ 2-9)?

Ответ:

вертикальная асимптота в # Х = 3 #

горизонтальная асимптота при # У = 0 #

дыра в # х = -3 #

Объяснение:

#y = (x + 3) / (x ^ 2-9) #

Первый фактор:

#y = ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) #

Поскольку фактор # х + 3 # отменяет разрыв или дыру, фактор # Х-3 # не отменяет, так что это асимптота:

# х-3 = 0 #

вертикальная асимптота в # Х = 3 #

Теперь давайте отменим факторы и посмотрим, что делает функция, поскольку x становится действительно большим в положительном или отрицательном:

#x -> + -oo, y ->? #

#y = отмена ((x + 3)) / (отмена ((x + 3)) (x-3)) = 1 / (x-3) #

Как видите, уменьшенная форма просто #1# на некоторое количество #Икс#мы можем игнорировать #-3# потому что когда #Икс# Огромный это незначительно.

Мы знаем это: #x -> + - oo, 1 / x -> 0 # следовательно, наша исходная функция имеет такое же поведение:

#x -> + - oo, ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) -> 0 #

Следовательно, функция имеет горизонтальную асимптоту в # У = 0 #

график {у = (х + 3) / (х ^ 2-9) -10, 10, -5, 5}