Что такое логарифм отрицательного числа?

Логарифмы отрицательных чисел не определены в действительных числах, так же, как квадратные корни отрицательных чисел не определены в действительных числах. Если ожидается, что вы найдете журнал с отрицательным числом, в большинстве случаев достаточно ответа «undefined».

Это является Можно оценить одно, однако ответом будет комплексное число. (номер формы #a + bi #, где #i = sqrt (-1) #)

Если вы знакомы со сложными числами и чувствуете себя комфортно с ними, тогда читайте дальше.

Во-первых, давайте начнем с общего случая:

#log_b (-x) =? #

Мы будем использовать правило изменения базы и конвертируем в натуральные логарифмы, чтобы упростить ситуацию позже:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Обратите внимание, что #ln (-x) # это то же самое, что #ln (-1 * x) #, Мы можем использовать свойство сложения логарифмов и разделить эту часть на два отдельных журнала:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Теперь единственная проблема - выяснить, что #ln (-1) # является. На первый взгляд это может показаться невозможным, но есть довольно известное уравнение, известное как Идентификация Эйлера, которое может помочь нам.

Идентичность Эйлера гласит:

# e ^ (ipi) = -1 #

Этот результат происходит из степенных рядов расширения синуса и косинуса. (Я не буду объяснять это слишком подробно, но если вам интересно, здесь есть хорошая страница, которая объясняет немного больше)

А пока давайте просто возьмем натуральный логарифм обеих сторон идентичности Эйлера:

# ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Упрощенная:

#ipi = ln (-1) #

Итак, теперь, когда мы знаем, что #ln (-1) # есть, мы можем заменить обратно в наше уравнение:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Теперь у вас есть формула для поиска логов отрицательных чисел. Итак, если мы хотим оценить что-то вроде # log_2 10 #мы можем просто вставить несколько значений:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #